La
Mecánica Cuántica según Feynman.
Hoy en día nadie pone en duda que Richard P. Feynman
fue tal vez uno de los más brillantes e ingeniosos físicos de la segunda parte
del siglo XX. Sus contribuciones a la física moderna son tan profundas como
originales. Sólo por citar algunas de ellas podríamos mencionar:
A finales de los años cuarenta ya había resuelto los
problemas fundamentales de la Electrodinámica Cuántica y había introducido sus
famosos diagramas que, no sólo ayudaban a visualizar las diferentes
contribuciones a los procesos entre partículas como electrones, positrones y
fotones, sino que permitían realizar los cálculos mucho más rápida y
eficientemente. Estas contribuciones le valieron el Premio Nobel de Física de
1965 junto a Schwinger y Tomonaga.
A principio de los años cincuenta desarrolló una
exitosa interpretación cuántica de la teoría fenomenológica de la superfluided
del helio líquido, introducida previamente por Lev D. Landau y que le valió a éste
el Premio Nobel de Física de 1962.
Junto con Murray Gell-Mann desarrolló en 1958 la
teoría V-A, previamente sugerida por Sudarshan and Marshak, y que describía
aspectos sutiles de las interacciones débiles como la violación de la paridad.
En 1959 pronuncio su famosa conferencia ante la APS Plenty of Room at the Bottom, donde se
ponía de manifiesto el potencial de la física cuántica para el desarrollo de la
nanociencia y la nanotecnología.
Trabajando con físicos experimentales de SLAC, en
1968 introdujo el concepto de partón como constituyente elemental del protón,
para explicar el comportamiento de las reacciones electrón-protón profundamente
inelásticas. Los partones con el tiempo acabaron reinterpretándose como lo que
hoy llamamos quarks.
A principios de los ochenta pronunció diversas
conferencias y publicó varios trabajos proponiendo la idea de los computadores
cuánticos y sus posibles usos para simular el comportamiento de los sistemas
cuánticos difíciles de tratar con medios convencionales.
Y eso sólo por mencionar algunas de las más
conocidas aportaciones de Feynman.
Sin embargo, en esta lista he omitido
deliberadamente la que personalmente considero su más fundamental contribución
a la física moderna. Se trata, ni más ni menos, de su personal formulación de
la mecánica cuántica.
A principio
de los años treinta existían básicamente dos formulaciones diferentes de la
mecánica cuántica. La primera de ellas era la llamada mecánica cuántica
matricial desarrollada en 1925 por Heisenberg, junto con Jordan y Born, y
estaba inspirada en el modelo del átomo de hidrógeno de Bohr y posteriores
desarrollos de Sommerfeld. Aunque se trataba de una formulación plenamente
consistente, resultaba demasiado abstracta para la mayoría de los físicos de la
época.
Mucho más intuitiva resultó la mecánica ondulatoria presentada por Schrödinger en 1926 a través de su famosa ecuación. Inspirado en la idea propuesta previamente por de Broglie de que toda partícula llevaba asociada una onda, Schrödinger fue capaz de encontrar una ecuación para la onda de materia (función de onda Ψ (x,t) ) cuyas soluciones regulares describían, entre otras cosas, los niveles energéticos correctos del átomo de hidrógeno de Bohr. Aunque la naturaleza de la función de onda permanecía un poco oscura, la formulación de Schrödinger de la mecánica cuántica resultaba mucho más familiar al basarse en ecuaciones diferenciales que eran la herramienta habitual de los físicos de aquella época. Posteriormente Born, inspirado por el propio Einstein, ofrecería la interpretación todavía generalmente aceptada del módulo al cuadrado de dicha función |Ψ (x,t)|2 como densidad de probabilidad de encontrar la partícula en el punto x en el instante t.
En todo caso la comunidad no tardó mucho tiempo en
darse cuenta de que en realidad ambas formulaciones de la mecánica cuántica
eran en el fondo equivalentes, como se manifestaba claramente en los textos de
Dirac (con su famosa notación de kets
y bras) y de von Neumann mediante el
uso extensivo de los espacios de Hilbert, ya a comienzos de la década de los
treinta.
De esta forma se disponía dos formulaciones de la
mecánica cuántica, siendo la basada en la ecuación de Schrödinger la más
popular. De acuerdo con dicha ecuación, la evolución temporal de la función de
onda viene determinada por el llamado operador hamiltoniano H que está relacionado con la
correspondiente magnitud clásica H y
por tanto con la energía de la partícula. En los casos sencillos el hamiltoniano
H es por tanto la suma de la energía
cinética T y la energía potencial U, es decir H = T + U y formalmente es una función de la posición x y del momento p, es decir, H = H (x, p).
Existe sin embargo una formulación más directa de la
mecánica clásica basada en la función de Lagrange (lagrangiano) L = T - U, donde L se considera formalmente una función de la posición x y la velocidad v, es decir L = L (x, v). A partir de esta función es
posible construir la acción S[x(t)] como la integral en el tiempo de L evaluada a lo largo de una cierta trayectoria x(t) que une el punto xA
en el instante tA con el
punto xB en el instante tB. Así la acción es un
funcional que asocia un cierto valor a cada trayectoria imaginable x(t) que conecte el punto (xA, tA) con el
punto (xB, tB).
El principio de mínima acción de Hamilton afirma entonces que la trayectoria
clásica de la partícula corresponde exactamente a aquella función x(t) que hace mínimo el valor de la
acción S[x(t)] (matemáticamente la condición precisa es: δ S
/ δ x(t) = 0), lo cual no es sino una forma sofisticada de
presentar la segunda ley de Newton de la mecánica: F = m a.
Fue Dirac el primero en plantear seriamente la
posibilidad de desarrollar una mecánica cuántica basada en el formalismo de
Lagrange en lugar del formalismo hamiltoniano utilizado por Schrödinger en su
famosa ecuación. Su motivación en principio era considerar el formalismo
lagrangiano más fundamental que el hamiltoniano, pero también la creencia de
que aquel era más apropiado para adaptar la mecánica cuántica a las exigencias
de la teoría especial de la relatividad.
En este caso el objeto fundamental no es la función
de onda Ψ (x,t),
sino la amplitud cuántica A (xA, tA; xB,
tB), cuyo módulo al cuadrado proporciona la densidad de
probabilidad de que, si la partícula se encuentra en el punto xA en el instante tA, podamos detectarla en el
punto xB en el
instante tB. Dirac sugirió que dicha amplitud podría obtenerse de
alguna manera a partir de la acción S[x(t)] pero no pudo precisar exactamente de
qué forma.
Y aquí es donde aparece nuestro increíble Feynman.
Inspirado por las ideas de Dirac presentó en 1948 un artículo histórico en el
cual consiguió encontrar una fórmula que relacionaba la amplitud cuántica con
la acción clásica. Reelaborando algunas ideas de su tesis doctoral, supervisada
por Wheeler, consiguió obtener la amplitud A
(xA, tA; xB,
tB) como el resultado de una suma muy particular (integral sobre
caminos) que recibe contribuciones de todas las trayectorias imaginables x(t) que conecten el punto (xA, tA) con el
punto (xB, tB). Todas estas trayectorias contribuyen
igual en módulo, pero no así en fase, siendo la fase de cada contribución igual
a exp (i2π S[x(t)]/h), donde h es la constante de Planck. Es decir,
la fase asociada a cada posible trayectoria x(t)
viene determinada por la acción clásica evaluada para esa trayectoria medida en
unidades de la constante de Planck. De esta manera todos los caminos que unan
el punto A con el punto B contribuyen de una forma muy precisa a
la amplitud A (xA, tA;
xB, tB). A partir de la relación entre esta amplitud
y la función de onda Feynman fue capaz de demostrar que este formalismo es
equivalente a la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, en esta nueva
formulación de la mecánica cuántica, conocida como la integral sobre caminos de
Feynman, todos los objetos son clásicos y no es necesario tratar con operadores
que representan magnitudes físicas actuando sobre estados físicos
pertenecientes a un espacio de Hilbert. Aquí todas las complejidades de la
cuantización se tienen en cuenta con el nuevo concepto de integral (funcional)
sobre caminos y se realiza el sueño de Dirac de formular la mecánica cuántica
en un contexto exclusivamente lagrangiano (aquí no aparece el hamiltoniano sino
la acción clásica).
Fig. 1 Paul Dirac parece escuchar atentamente a Richard Feynman. Foto tomada en Jabłonna, cerca de Varsovia, durante una conferencia científica internacional sobre Relatividad General y Gravitación en julio de 1962. "Richard Feynman and Paul Dirac at Relativity Conference in Warsaw, 1962-07, 1.10-20. Caltech Images Collection, Images. California Institute of Technology Archives and Special Collections. https://collections.archives.caltech.edu/repositories/2/archival_objects/106341 Accessed March 22, 2024”.
Sin embargo, tal vez lo más interesante de esta
nueva formulación de la mecánica cuántica es que nos ofrece una imagen
pictórica de los procesos altamente sugerente. Es como si para ir del punto A al punto B, la partícula cuántica utilizara (virtualmente) todos los caminos
posibles cada uno con su fase correspondiente y es la suma de todos, pesados
con su factor de fase, la que determina la amplitud y por tanto la densidad de
probabilidad de ocurrencia de la transición desde A hasta B.
Y todavía hay más en esta fantástica visión de la
mecánica cuántica. Si la transición ocurre en objetos macroscópicos, los
valores de la acción sobre los diferentes caminos serán típicamente enormes
comparados con la constante de Planck, es decir S[x(t)] >> h. De esta forma el factor de fase
oscilante tenderá a cancelar la contribución a la amplitud del camino
correspondiente; ¡con una excepción! Los caminos x(t) que hacen estacionaria la acción con respecto a pequeños
cambios x(t) + δ x(t). Pero resulta que esos caminos cumplen la ecuación: δ S/δ x(t) = 0, es decir son justamente los que satisfacen las
ecuaciones clásicas del movimiento. Es decir, la mecánica cuántica de los
objetos macroscópicos está dominada por las trayectorias clásicas. De esta
forma tan fascinante establece Feynman la emergencia de la mecánica clásica a
partir de la mecánica cuántica. En las situaciones genuinamente cuánticas (S[x(t)]
del orden de h) todos los caminos
contribuyen a la amplitud, mientras que en situaciones macroscópicas (S[x(t)]
>> h) a la amplitud sólo
contribuyen esencialmente las trayectorias clásicas.
Fig.2 Imagen mostrando cinco trayectorias que unen los puntos A y B. Todas ellas e infinitas más contribuyen a la amplitud del proceso en la formulación de la integral sobre caminos de Feynman de la mecánica cuántica. De todas ellas, solamente aquella que minimiza la acción, por ejemplo la del medio, sobrevive al límite clásico de la mecánica cuántica. Attribution: By Sachin48 sps - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=94348813
De esta forma la integral sobre caminos de Feynman,
no sólo nos proporciona una visión pictórica de la mecánica cuántica, sino que
además nos ofrece una explicación de cómo la mecánica clásica surge de la
mecánica cuántica en el mundo macroscópico.
Desde el punto de vista técnico cabe añadir que la
integral sobre caminos puede aplicarse a la teoría cuántica de campos
relativista con éxito y es así como pueden obtenerse los famosos diagramas de
Feynman. Resulta particularmente útil en
las llamadas teorías gauge, como el
Modelo Estándar de las partículas elementales que describe, con gran éxito
hasta la fecha, las interacciones fuertes y electrodébiles de los quarks y
leptones. De hecho, muchos teóricos consideran la integral sobre caminos de
Feynman como la más fundamental de las formulaciones de la mecánica cuántica
conocidas.
Personalmente descubrí la integral sobre caminos de
Feynman unos meses después de obtener mi licenciatura en Física en la
Universidad Autónoma de Madrid a principios de los ochenta del siglo pasado y
quedé inmediatamente fascinado por la ingeniosa forma de entender la mecánica
cuántica de Feynman. Desde entonces no he dejado de sorprenderme de los
misterios del mundo cuántico y del ingenio de Feynman para intentar
dilucidarlos.
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