Las Lecciones de Física de Richard Feynman
han enseñado, motivado e inspirado a miles de científicos en todo el mundo
desde que se publicaron en 1963, poco después de que fueran impartidas por el
propio Feynman a los estudiantes de primer y segundo curso de la carrera de Física
en el Instituto Tecnológico de California (Caltech). Uno de los principales atractivos
de esas lecciones es la sencillez con la que se presentan los conceptos, deduciéndolos
o relacionándolos siempre con lo explicado previamente. Esa capacidad para
hacer fácil lo difícil era característica de Feynman, que disfrutaba poniéndola
en práctica a través de la docencia o de la divulgación.
Entre el público general fue creciendo el interés
por acercarse a la física de la mano de una figura tan destacada como Feynman,
ganador del Premio Nobel en 1965 y que además tenía talento para explicar de
manera sencilla conceptos muy abstractos. Sin embargo, las Lecciones de
Física no dejaban de ser un libro de texto para clases universitarias, y
además de un nivel bastante exigente (no en vano, iban dirigidas a alumnos de
Caltech). Por esa razón surgió la idea de publicar de manera independiente algunas
de las partes más generales y sencillas de las lecciones, sin desarrollos
matemáticos, lo que dio lugar a las famosas Seis piezas fáciles. Dado su
éxito, posteriormente se publicaron también por separado algunas otras partes con
un nivel algo más elevado, las Seis piezas no tan fáciles, enfocadas en
la teoría de la relatividad. Y posteriormente, subiendo un poco más el nivel,
Feynman se atrevió con una obra de divulgación sobre la teoría física que él
mismo había contribuido a desarrollar, titulado Electrodinámica cuántica: la
extraña teoría de la luz y la materia1.
Una
imagen vale más que mil fórmulas.
La electrodinámica cuántica, abreviada a menudo como
QED por sus siglas en inglés, es el nombre de la teoría cuántica de campos
asociada a las interacciones electromagnéticas y describe a nivel fundamental
todos los fenómenos eléctricos, magnéticos, ópticos y químicos de la
naturaleza.
Los cálculos en el marco de esta teoría son complicados
y requieren mucho tiempo, esfuerzo y, sobre todo, concentración, porque es muy
fácil olvidarse de algunos términos o factores, lo que proporcionaría un
resultado erróneo. Para solventar esta gran dificultad práctica, Feynman
introdujo unas representaciones esquemáticas, o diagramas, que pretendían
facilitar los complejísimos cálculos. Si estos se llevan a cabo correctamente,
y para ello resulta casi imprescindible el uso de diagramas, la teoría QED es
la más precisa de la historia de la física, y de la historia de la ciencia en
general.
Feynman debió pensar que una imagen vale más que mil
palabras, o en este caso más que mil fórmulas, y desarrolló un conjunto de
reglas para construir los diagramas que representan una cierta reacción entre
partículas y para asociar una expresión matemática a cada uno de ellos. Cuando
se introducen algunos datos básicos de las partículas involucradas, como sus
masas y velocidades, esa expresión proporciona un valor numérico relacionado
con la probabilidad de que suceda la reacción.
Las reacciones de partículas pueden ser
desintegraciones, cuando una partícula aislada se transforma espontáneamente en
otras, o bien colisiones entre dos de ellas, que pueden dar lugar a partículas distintas
de las iniciales. Cuando hablamos de partículas nos referimos a los
constituyentes de los átomos (electrones, protones y neutrones), pero también a
otras como muones y tauones, neutrinos, o quarks; estos últimos forman decenas
de partículas compuestas distintas, entre las que se encuentran los propios
protones y neutrones. También pueden participar las antipartículas de todas las
anteriores, que se caracterizan por tener algunas propiedades con el signo
opuesto, como la carga eléctrica, pero con la misma masa.
Todas las partículas mencionadas se denominan
"de materia", pero en los procesos intervienen también necesariamente
partículas "mediadoras", cuyo papel es generar las interacciones, es
decir, producir las fuerzas entre las partículas. En la teoría QED esas fuerzas
son las electromagnéticas, y la partícula mediadora es el fotón, que también es
la unidad elemental de la luz visible y de cualquier otro tipo de radiación
electromagnética (rayos X, ultravioleta, infrarroja, radio, etc.).
En la figura 1 se pueden ver dos ejemplos de
diagramas de Feynman sencillos que están asociados a una misma reacción entre
partículas, la colisión elástica entre un electrón (e‾) y un muon (μ‾); esta última es una
partícula similar al electrón, también con una unidad de carga negativa, pero
con una masa 200 veces mayor. Este proceso se denomina elástico porque las
partículas resultantes son las mismas que las iniciales, aunque el valor y la
dirección de sus velocidades pueden haber cambiado tras la colisión.
Fig. 1 Diagramas de Feynman en QED para la colisión elástica entre electrón y muon (e‾ + μ‾ → e‾ + μ‾), con el transcurso del tiempo en el eje horizontal. El diagrama de la izquierda tiene dos vértices y la línea interna corresponde a un fotón (γ) virtual. El diagrama de la derecha tiene cuatro vértices y contiene dos líneas internas de fotones (γ) virtuales y también de electrón (e‾) y positrón (e⁺) virtuales formando un bucle.
Los diagramas de Feynman se representan en un plano
cartesiano, uno de cuyos ejes indica el avance del tiempo y el otro indica una única
coordenada espacial (en la figura 1 son el eje horizontal y el vertical, respectivamente).
Así, leyendo cada diagrama de la figura en orden temporal, de izquierda a
derecha, se observa que en el estado inicial hay un electrón y un muon, que
interactúan intercambiando un fotón (que se dice virtual), y en el estado final
sigue habiendo un electrón y un muon. Por tanto, los diagramas de la figura 1, y
muchos otros más complicados, se asocian a la reacción e‾ + μ‾
→ e‾ + μ‾.
Lo primero que hay que destacar de estos diagramas
ideados por Feynman es que no son representaciones espaciales de los procesos,
ya que uno de los ejes del plano indica el transcurso del tiempo, no una dirección
del espacio. Dicho de otro modo, en los diagramas no se reflejan las
trayectorias que seguirían las partículas como si fuesen bolas de billar chocándose
en una mesa que miramos desde arriba. De hecho, los diagramas como los de la figura
1 representan cualquier configuración espacial de la colisión, como por ejemplo
las mostradas en la figura 2. En esta figura los dos ejes del plano cartesiano sí
que representan coordenadas espaciales (x e y), y se puede observar que en los distintos ejemplos
las dos partículas finales salen con trayectorias muy diferentes
(correspondientes a distintas energías). Por esa razón, algunas características
de los diagramas de Feynman en realidad no tienen ningún significado, como por
ejemplo las longitudes de las líneas o los ángulos que forman entre ellas. Lo
relevante en los diagramas de Feynman es qué líneas están conectadas entre sí
en los puntos de intersección, denominados vértices (círculos negros en la figura
1). En este sentido los diagramas de Feynman son equiparables a lo que en
matemáticas se denomina grafos, o también a las representaciones de circuitos
en electrónica, donde la forma y longitud de los cables conductores no tiene
importancia, pero sí la tiene cómo están conectados entre sí y con los
elementos del circuito.
Fig. 2 Tres ejemplos de posibles configuraciones espaciales de la colisión elástica entre un electrón y un muon, con diversas trayectorias de las partículas finales. Todas estas posibilidades, y cualquier otra, se representan con el mismo diagrama de Feynman.
Las partículas que intervienen en un proceso se
representan en los diagramas de Feynman mediante líneas o flechas, que se unen entre
sí en los vértices. Las partículas que entran y salen de la reacción (llamadas
reales, porque son detectables) corresponden a líneas externas, que acaban en
vértice solo por uno de sus extremos, mientras que las partículas intercambiadas
(llamadas virtuales) corresponden a líneas internas, limitadas por vértices en
sus dos extremos. El número de vértices puede ser tan grande como se quiera,
dando lugar a diagramas cada vez más complicados, aunque representan la misma
reacción entre partículas. Cuantos más vértices tengan los diagramas
considerados, más preciso será el resultado, pero también más difícil será
calcularlo. Por ejemplo, el diagrama de la izquierda de la figura 1 tiene dos
vértices, mientras que el de la derecha tiene cuatro, porque incluye un bucle o
loop en el que el fotón virtual intercambiado se divide momentáneamente en
un electrón y en su antipartícula (llamada positrón, e⁺), que enseguida se
combinan para formar de nuevo el fotón.
De una
fría bienvenida a un éxito arrollador.
Feynman presentó su técnica de cálculo basada en
diagramas en una reunión científica celebrada en 1948 en las montañas de Pocono
en Pennsylvania (EE.UU.). Feynman pronunció su charla al final de un largo día
en el que un colega suyo, Julian Schwinger, había estado impartiendo seminarios
sobre cálculos en QED desde por la mañana. Cuando Feynman comenzó a introducir
sus ideas y trazó en una pizarra, por primera vez en público, uno de sus
diagramas (parecido al de la izquierda de la figura 1), los asistentes estaban
ya muy cansados. Ya sea por esa fatiga de la audiencia o porque las ideas
presentadas eran demasiado novedosas, nadie pareció entender lo que Feynman
quería transmitir con sus diagramas ni qué reglas había que emplear para
convertirlos en expresiones matemáticas y finalmente en números contrastables
con los datos experimentales.
Sin embargo, poco a poco se fue haciendo evidente
que esos diagramas sí ayudaban a efectuar los cálculos en QED, o que
directamente los hacían humanamente accesibles. Las reglas para emplearlos
correctamente fueron sistematizadas por Freeman Dyson, que además demostró que
el procedimiento era matemáticamente equivalente a los desarrollados por
Schwinger, por un lado, y por Shinichiro Tomonaga, por otro. Feynman, Schwinger
y Tomonaga compartieron el Premio Nobel de Física de 1965 por su "trabajo
fundamental en electrodinámica cuántica, con profundas consecuencias para la
física de las partículas elementales". El trabajo de Dyson (excluido, por
cierto, del Premio Nobel), dotó de rigurosidad matemática a un procedimiento
que Feynman desarrolló apoyándose en una especie de intuición, si es que algo
así puede existir en un ámbito tan abstracto.
Años más tarde, Schwinger comentó que los diagramas
de Feynman "habían acercado los cálculos a las masas", y también que "eran
un asunto, como mucho, de pedagogía, no de física". La primera afirmación
es cierta, siempre que con "masas" nos refiramos a un gran número de
físicos teóricos, no a la población general (porque los diagramas de Feynman
simplificaron mucho los cálculos, pero no tanto como para trabajar con ellos
sin haber cursado, al menos, un grado en física). La segunda opinión es
interesante, pero controvertida. Los diagramas de Feynman, ¿tienen solamente valor
pedagógico, para enseñar a las "masas" de físicos a realizar cálculos
en QED?, ¿o son una representación fidedigna de los procesos que ocurren en la
naturaleza a nivel fundamental? Es posible que, al contrario de lo que afirmó
Schwinger, los diagramas de Feynman contengan más física que muchos otros abstrusos
desarrollos matemáticos, pero esta es una cuestión que sigue abierta, y cuya
respuesta le atañe quizá más a la filosofía que a la física.
Contando
historias.
El método de los diagramas proviene de un formalismo
de la mecánica cuántica, desarrollado también por Feynman, denominado de
"integrales de camino" o de "suma sobre historias". Por
ejemplo, para el caso sencillo de una partícula que se desplaza desde un punto
A hasta un punto B, este formalismo tiene en cuenta todos los posibles caminos
que puede seguir la partícula en el espacio-tiempo, es decir, todos los recorridos
posibles con todas las velocidades posibles. Esos caminos incluyen la línea
recta entre A y B, pequeñas desviaciones de esa línea recta, grandes
desviaciones, idas y vueltas, incluso marchas atrás en el tiempo. Esto implica
que la trayectoria que sigue un fotón para ir de un lado a otro en un
laboratorio ha de calcularse en mecánica cuántica teniendo en cuenta, por
ejemplo, su excursión hacia Marte, su expedición a la Galaxia Andrómeda o su
viaje a los confines del Universo. Los caminos posibles son infinitos, algunos
de ellos próximos a lo que esperaríamos en física clásica, y otros muchos muy diferentes.
Para cada uno de los caminos se calcula una cierta cantidad,
y se suman las cantidades asociadas a todos los caminos posibles (como hay infinitos,
la suma se lleva a cabo mediante una integral). Este es el origen de los
nombres dados al formalismo, "integrales de camino" o "suma
sobre historias". La clave reside en que las cantidades asociadas a cada
camino no son simples números, sino vectores o flechas, que pueden apuntar en direcciones
parecidas, y entonces tienden a reforzarse entre sí, o pueden apuntar en direcciones
muy diferentes, y entonces tienden a cancelarse (como cuando dos niños tiran
del mismo juguete en direcciones opuestas)2. Los caminos que
intuitivamente consideramos extraños, como el del paseo por Marte o por Andrómeda,
tienden a cancelarse entre sí porque son muy numerosos y sus flechas apuntan en
direcciones muy distintas. En cambio, los caminos más verosímiles, que son los
que aparecen en física clásica, se asocian a flechas que apuntan en direcciones
parecidas, y se refuerzan entre sí. En su lección sobre QED, Feynman usa esta
analogía de flechas asociadas a cada camino para explicar de forma magistral fenómenos
ópticos comunes como la reflexión, la refracción, la difracción, la
convergencia por lentes e incluso los espejismos.
Con este método se obtiene la trayectoria que siguen
los objetos clásicos, que es el camino que más contribuye a la suma total, y
además se tienen en cuenta las correcciones cuánticas, que provienen de contribuciones
de los caminos más exóticos que no llegan a cancelarse del todo entre sí. ¿Cómo
se puede llevar a cabo todo este procedimiento, de apariencia ciertamente
esotérica, de manera matemática, e incluso usando sencillos diagramas? Aquí es
donde intervino el genio y la lucidez de Feynman.
Domesticando
infinitos.
Uno de los aspectos más desconcertantes de los
cálculos con diagramas de Feynman es que contienen diversos tipos de infinitos,
algunos de los cuales se resisten a ser tratados matemáticamente de manera
rigurosa.
El primero de ellos está relacionado con los
infinitos caminos posibles compatibles con un proceso dado (desde un estado
inicial A hasta un estado final B). Así, la integral sobre caminos debe
efectuarse en infinitas dimensiones, que es algo mucho más serio que un espacio
'simplemente' de tamaño infinito. Feynman remplazó estas integrales por unos
objetos matemáticos bien definidos denominados propagadores, que se asocian a
cada una de las partículas que intervienen en un proceso. Ni siquiera hoy día se
sabe cómo pasar de manera rigurosa de las integrales infinito-dimensionales a
los propagadores, pero Feynman sí parecía verlo claro en su cabeza.
Otro tipo de infinitos surge de esos mismos
propagadores, que en las partículas virtuales (las que son emitidas y absorbidas
por partículas reales y corresponden a las líneas internas de los diagramas) pueden
dar lugar a resultados infinitos, como en el caso del diagrama con bucle de la
derecha de la figura 1. Estos infinitos esencialmente se ignoran (se suele
decir que "se esconden debajo de la alfombra"), y solo nos quedamos
con las partes que dan números finitos. Parece mentira que un procedimiento tan
grosero, denominado técnicamente renormalización, funcione tan bien como lo
hace.
Un último tipo de infinito puede surgir al sumar
diagramas de Feynman cada vez más complicados, es decir, que contienen cada vez
más vértices y más partículas virtuales. Cuanto mayor sea la precisión que se
quiere alcanzar en un cálculo, más diagramas distintos deben sumarse, y cada
vez más enmarañados (esta es la esencia de un cálculo que se denomina de tipo
perturbativo). Sin embargo, es posible que, a partir de cierto punto, la suma deje
de acercarse al resultado exacto y comience a irse a infinito.
A pesar de toda esta variedad de infinitos y de su
carácter tan salvaje, que a menudo no permite su domesticación matemática
rigurosa, los resultados que se obtienen con los cálculos diagramáticos de
Feynman reproducen con gran precisión lo que se mide en los experimentos. Uno
de los cálculos más precisos obtenidos hasta la fecha es el de una cantidad que
relaciona el campo magnético creado por los electrones, que se comportan como
minúsculos imanes, con algo análogo a su movimiento de rotación, que se
denomina espín3. El cálculo más reciente de esta cantidad involucra
más de doce mil diagramas de Feynman distintos con hasta diez vértices cada
uno, y proporciona el valor 2,00231930436356, mientras que el resultado
experimental es 2,00231930436182: ¡hay que irse a la duodécima cifra decimal
para ver la diferencia! Se trata del cálculo y del experimento más precisos de
la historia de la física, y la coincidencia es asombrosa. El propio Feynman lo
comparó con predecir la distancia entre Nueva York y los Ángeles (4000 km) con
la precisión del grosor de un pelo, pero lo hizo para los resultados conocidos
en 1985. Los valores actuales dados antes implican esa misma precisión, pero
para la distancia entre la Tierra y la Luna (380000 km).
Lecciones
para todos.
Los diagramas inventados por Feynman se han
convertido en un lenguaje universal de la física teórica (miles de libros y
artículos están plagados de ellos), pero también en gran medida en un icono de
la cultura popular. Aunque el público general no conozca su significado
preciso, muchas personas los asocian con reacciones entre partículas
subatómicas que representan los procesos más fundamentales de la naturaleza.
Consciente del carácter icónico que habían adquirido, el propio Feynman decoró
su furgoneta, que había matriculado con el texto QANTUM, con varios de esos
diagramas y viajó con ella por Estados Unidos (figura 3).
Fig. 3 Furgoneta de Feynman decorada con algunos ejemplos de sus famosos diagramas. Autor: John Kannenberg. Fuente: https://www.flickr.com/photos/jkannenberg/14264077761/in/photostream/ Licencia: CC BY-NC-ND 2.0 DEED (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/)
Feynman murió en 1988 a los 69 años y nos dejó en
forma de libros y artículos magistrales lecciones de física para los investigadores
profesionales, para los estudiantes y para el público en general, pero nunca
perdió de vista lo que de verdad consideraba esencial para la enseñanza y el
aprendizaje, y que expresó en el prefacio de sus Lecciones de Física:
La mejor enseñanza puede realizarse únicamente
cuando hay una relación directa e individual entre un estudiante y un buen
profesor -una situación en la que el estudiante discute las ideas, piensa sobre
las cosas y habla sobre las cosas. Es imposible aprender mucho simplemente
asistiendo a una clase o incluso simplemente haciendo los problemas prescritos.
Para estudiantes y profesores, lecciones como esta
son casi tan valiosas como las de física en sí.
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