La vocación científica seguramente comience siempre
pronto, en la niñez, aunque finalmente pudiera no dar lugar a una tarea
profesional. Más que nada, porque es una continuación natural de la enorme
curiosidad y capacidad de asombro de la etapa de la infancia. No tengo definido
el día cero, el nacimiento de mi vocación como físico. Más bien fue uno de los
muchos intereses que, como arroyos que surgen de diferentes manantiales del
monte, van adquiriendo más cuerpo a lo largo de su recorrido gracias a los
afluentes formados por la curiosidad y la experiencia de los años, hasta formar
ríos de intereses y aficiones sólidos, bien definidos entre los miles de
pensamientos diarios. Aunque no tengo claro el manantial, sí recuerdo varios de
los afluentes: el placer con el que recuerdo ver y escuchar de niño algunos
capítulos de la magnífica, monumental y ochentera, en el mejor de los sentidos,
serie Cosmos de Carl Sagan; las
clases de Ciencias Naturales en los años de educación primaria y secundaria,
especialmente las de Isabel Hípola en 8º de EGB; y las revistas de ciencia de
mi tío José María, profesor de Física en el Colegio San José de Villafranca de
los Barros. Todos ellos nutrieron el arroyo científico, que se fue ensanchando
hasta dar lugar al río que, durante los años de bachillerato, bebió de las
clases sobre el tema y de las muchas conversaciones sobre filosofía y sobre
física, especialmente con mis padres y con un gran amigo, Juan, mucho más capaz
que yo en las ciencias. Fue natural que mis intereses fueran a desembocar en la
bahía de la Licenciatura en Física, que cursé en la UCM.
Richard Phillips Feynman (RPF)
está considerado uno de los físicos más brillantes e influyentes de la física
del siglo XX (para algunos, incluso de los últimos siglos), no sólo por sus
investigaciones en diversos campos de la Física - especialmente la
electrodinámica cuántica, por la que obtuvo el Premio Nobel - sino también por
la forma en que analizó y transmitió la Física como docente, investigador y
divulgador. Este estatus fue muy temprano: Vera Rubin, la gran astrónoma que
realizó las observaciones con que se evidenció la existencia de la materia
oscura, contaba que las primeras palabras que dirigió al conocer a su futuro
marido, estudiante en Cornell cuando RPF enseñaba allí, fue “¿Conoces a Richard
Feynman?” [1]. Era la segunda mitad de los años 1940 y RPF aún no había
cumplido 30 años.
En el primer curso de carrera llegó a mis manos el
libro “¿Está usted de broma, Sr. Feynman?”
que, a lo largo de un año, fue de mano en mano entre mis amigos de toda la vida
(ninguno estudiaba Físicas salvo yo). El
fuerte impacto de su lectura en mi manera de plantear la Física fue inmediato:
ya la disfrutaba antes, pero a partir de su lectura la percibí más lúdica, más
divertida, más colorida. Me lo compré poco después y se lo presté a varios
compañeros de la facultad durante los siguientes años.
Paul A. M. Dirac tenía una
película favorita, “2001: a space odyssey”. Sin duda, el guion de Arthur C.
Clarke y Stanley Kubrick y la dirección de este último, con una inédita y
cuidadísima estética audiovisual, contribuyeron mucho a ello. También pudo
contribuir el hecho de que en la película se desarrollan muy pocos diálogos,
dada la ambiciosa historia que narra a lo largo de millones de años. La mayor
parte está narrada con imágenes y sonido, no con palabras. Algunos conocidos
del legendario físico acuñaron en broma la idea del “dirac”: el menor número de
palabras que se pueden usar en una conversación. Se podría entender como una
forma de expresar la mayor cantidad de información de la forma más sucinta
posible. Sus conocidos asignaron al dirac el valor numérico de 1 palabra por
hora. Desde la escuela, donde ya le impresionaron las relaciones entre los
conocimientos que aprendía en matemáticas y en dibujo técnico, y después al
estudiar para ser ingeniero eléctrico, donde siguió desarrollando esa faceta
visual, adoptó una fuerte inclinación hacia la representación gráfica de las
ideas matemáticas más abstractas. Esto le fue de gran utilidad en sus
investigaciones cuando desarrolló su enorme potencial como matemático y físico.
De hecho, él decía que era un visualizador [2].
Dirac era 16 años mayor e ídolo
científico de Feynman. A pesar de ser claramente diferentes en cuanto al número
de palabras que aportaban a una conversación, ambos tendían a pensar
gráficamente en las ideas matemáticas más abstractas. Esto dio lugar al
desarrollo de la contribución más conocida del joven Richard: los diagramas de
Feynman. También influyó claramente en sus clases y en las “Lectures on
physics”, los libros que resultaron de estas (Lecciones de Física de Feynman,
en su edición actual traducida al español, “las Lectures” a partir de aquí).
Aprovechando que no tenía obligación de estudiar
nada durante las vacaciones de verano tras terminar primero de carrera en la
UCM, tomé prestado de la biblioteca el primer tomo de las Lectures para leer algunos capítulos y pasajes por puro disfrute.
Recuerdo bien su fabuloso comienzo planteando la Física desde sus raíces más
profundas, la Filosofía, el juego, el descubrimiento, ... De hecho, ese primer
capítulo es tal cual la primera de las “Seis piezas fáciles” o “Six easy pieces” que dan título a esta colección de textos a la que
estoy contribuyendo. En ese primer capítulo plantea una retadora pregunta que
parece un claro guiño a su ídolo, Dirac: si por algún tipo de cataclismo todo el conocimiento científico fuera
destruido y sólo una frase pasara a las siguientes generaciones ¿qué afirmación
contendría la mayor cantidad de información en el menor número de palabras? Tras su respuesta a esta pregunta, casi idéntica a la hipótesis atomista
de los griegos clásicos Leucipo y Demócrito, subraya la que es para mí otra de
las claves en la ciencia: el uso de la imaginación,
cuya importancia en el desarrollo de la Física y la Ciencia en general no
siempre es percibida por todo el mundo. Ese capítulo me parece un magistral
comienzo para plantear el reto de estudiar la carrera de Física.
Las Lectures
me ganaron con su profundidad y entusiasmo, con ese lenguaje poco habitual en
los libros académicos, en general coloquial y en ciertos pasajes jovial,
parecido al de “¿Está usted de broma…?”.
Al cursar el tercer año de la licenciatura compré los tres volúmenes traducidos
al español (edición 1982, en cuya portada morada se lee “Física” y después, en
letras grandes “Feynman”). El
segundo volumen fue el libro de texto que usé para estudiar Electromagnetismo.
Ya en segundo curso, me encantó el capítulo 3 de ese volumen, con la
explicación del cálculo integral vectorial combinando las matemáticas y las
gráficas para indicar el significado matemático-físico de los teoremas de Gauss
y de Stokes. Desde entonces he consultado las Lectures continuamente, primero como estudiante, después como
investigador y, sobre todo, como docente. Siempre han sido para mí una fuente
de aprendizaje que aporta una manera atractiva y heterodoxa de narrar ciertos
aspectos de las asignaturas que estudio e imparto. Y, sobre todo, sigue siendo
una fuente de disfrute.
El Profesor Antonio Fernández
Rañada aportó a uno de los números de Quanto – la revista que fundaron en el
año 1994 unos cuantos estudiantes en la Facultad de Ciencias Físicas de la UCM
y en la que escribí durante varios años – un estupendo artículo en el que
comparaba a varios de los más insignes físicos, como Newton, Maxwell o
Einstein, con igualmente insignes músicos, como Bach, Beethoven o Stravinski.
Feynman le recordaba a Mozart por su enorme imaginación, creatividad y gusto
por el juego.
Al terminar la carrera me adentré en las procelosas
aguas de la ciencia. Comencé la tesis doctoral, sobre silicio nanocristalino y
tierras raras, dirigida por los Profs. Javier Piqueras y Bianchi Méndez, en el
Departamento de Física de Materiales de la UCM. En la estupenda biografía “Genius:
Richard Feynman and modern physics” escrita por James Gleick, que leí
durante la carrera, supe de la relación de Feynman con el tema en que se
enmarcaba mi tesis: su legendaria y visionaria charla del año 1959 “There’s plenty of room at the bottom”,
considerada el ilustre origen de la nanofísica. Hay suficiente espacio en la cabeza de un alfiler para poner toda la Encyclopaedia Britannica, retaba. En aquella charla mostró que las leyes de la Física permiten
ese nivel de miniaturización, décadas antes de que la microscopía electrónica y
las microscopías de campo próximo llegaran a hacerlo realidad. Aunque aún no se ha logrado grabar algo tan extenso como la Enciclopedia Británica en la cabeza de un alfiler.
Easy
piece: ritmo en el Cosmos.
Es difícil para mí elegir lo que nos pide en su
invitación Quintín Garrido para esta colección: un momento que me marcó y me
llevó a dedicarme a la Física. Han sido bastantes las ocasiones en que alguien
me ha explicado algo que ha resonado después en mi cabeza muchas veces,
sirviendo de semilla desde la que cristalizan nuevos conocimientos. Elijo el
siguiente.
Al terminar primer curso de
Bachillerato atrapé al vuelo la oportunidad de asistir durante un mes, junto a
mi padre y dos de mis primos, a un curso de alemán en Berlín organizado por la
Universidad Humboldt y anunciado por la Universidad Nacional de Educación a
Distancia (UNED), donde mi padre trabajaba como investigador de sociología. Era
julio de 1990, un momento histórico en el que el aspecto de Berlín era muy
distinto al actual. El Muro había caído hacía sólo unos meses, el 9 de
noviembre de 1989, y eran evidentes muchas diferencias entre las dos partes de
la ciudad, separadas durante décadas por aquella infausta obra arquitectónica
cuya caída marcaba el fin de una era: la Guerra Fría. Un día paseamos por
Alexanderplatz, dominada por la imponente torre soviética de telecomunicaciones
Fernsehturm, la torre de televisión, considerada un símbolo comunitario y monumento
de Berlín tras la reunificación de Alemania. En su base hay unos aleros
triangulares inclinados, con aspecto de abanico medio abierto (ver figura 1).
Recuerdo que al menos uno está suspendido en el aire: tiene uno de los vértices
muy cercano al suelo, pero sin llegar a tocarlo. Observé su leve y lenta
oscilación, como la de una barca mecida por suaves olas. El recuerdo quedó
imborrable por lo que mi padre me explicó: toda esa enorme estructura
triangular oscila a un ritmo definido y, si lo fuerzas a oscilar justo con ese
ritmo, podrías conseguir que lo haga de forma cada vez más amplia ¡quizá hasta
romperse! Puede que hasta mencionara la palabra “resonancia”, pero no lo
recuerdo. Me impresionó comprender que una gran estructura como esa pudiera ser
movida de manera tan sencilla por un adolescente delgaducho, si encuentra la
cadencia adecuada.
Fig. 1 Fernsehturm, la torre de televisión de Berlín. En su base se pueden ver los aleros cuya punta no está (o al menos no estaba) apoyada en el suelo. https://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_televisi%C3%B3n_de_Berl%C3%ADn
Durante las excelentes clases de Física General que
recibí del Prof. Juan Rojo en primer curso de la Licenciatura, explicó el
fenómeno de los armónicos en cuerdas tensas y cómo éstas vibran sin necesidad
de tocarlas al resonar con una onda sonora de la frecuencia adecuada. Acto
seguido nos explicó – primera vez que se nos explicaba en la Licenciatura –
cómo obtener cualquier forma de onda periódica como suma de funciones
trigonométricas, de armónicos. Nos desveló unas de las herramientas matemáticas
más utilizadas en Física: las series de Fourier.
Feynman fue músico, un buen
percusionista según parece, faceta que quedó inmortalizada en la fotografía que
aparece en el Prefacio de las Lectures, así como en su personaje interpretado
por Jack Quaid, sin diálogo, pero con unos bongos, en la película
“Oppenheimer”, uno de los fenómenos cinematográficos de 2023. Crear ritmos
complejos, sincopados y polirritmos fueron para él, entre otras cosas, otra
forma de aplicar las matemáticas. Hay un buen número de eminentes físicos que
han desarrollado una faceta musical: el primer libro de Leonhard Euler trataba
de música, a la que dedicaba la mayor parte de su tiempo libre [3], Albert
Einstein fue violinista, Max Planck, Paul Ehrenfest y Werner Heisenberg
pianistas, William Herschell oboísta, organista y director de orquesta antes de
dedicarse por completo a la Astronomía [4]...
En los medios materiales – gases, líquidos, sólidos
y plasmas – las partículas interaccionan entre sí, dando lugar a un equilibrio
tenso pero estable: si algo perturba el medio en cierto lugar, se restituirá el
equilibrio en ese sitio gracias a las fuerzas internas o externas que mantienen
cercanas a las partículas vecinas. Pero esas mismas fuerzas crearán algo
similar a un efecto dominó y la perturbación se propagará, alejándose del punto
en que se originó: así se genera una onda mecánica. Cuando el medio tiene unas
dimensiones finitas, con unos límites bien definidos – pensemos en el aire de
una habitación grande cerrada, en la membrana tensa de un tambor, fijada a un
aro robusto, o en la cuerda de un violín con sus extremos apoyados en puntos
sólidos, la cejilla y el puente – las ondas se reflejarán en dichos límites,
quedando confinadas el espacio. Las
ondas se caracterizan porque interfieren
entre sí: si varias se propagan por la misma región del espacio durante el
mismo periodo de tiempo, dan lugar a una onda resultante que es la suma de las iniciales. Una onda
reflejada en una pared o en el extremo de una cuerda tensa interfiere con la
onda original que sigue llegando a dichos límites. Si hay dos extremos – o seis
paredes – las ondas van y vienen continuamente, produciendo un marcado fenómeno
de interferencia. En ciertos edificios con paredes muy lisas, como las
iglesias, este fenómeno da lugar a la característica reverberación de los
sonidos: un juego de reflexiones, de ecos repetidos muchas veces.
Cuando creamos una perturbación periódica, es decir, que se repite en el tiempo con una frecuencia – un ritmo, una cadencia – constante, la onda resultante propaga el mismo ritmo. Por ejemplo, cuando creamos un sonido golpeando un trocito de madera con una frecuencia f = 333 veces por segundo o hertzios (f = 333 Hz) entre golpecito y golpecito transcurren 1/333 = 0,003 segundos. Como la perturbación se propaga a cierta velocidad por el medio, las características de la onda se repetirán cada cierta distancia - la recorrida por la onda en el tiempo que transcurre entre golpecito y golpecito en el ejemplo anterior - llamada longitud de onda1. Si en este ejemplo suponemos una velocidad de las ondas en el aire de 333 metros por segundo, la longitud de onda es λ = 333 x 0,003 = 1 metro. Si aumentamos la frecuencia de los golpecitos, la longitud de onda resultante será menor y viceversa.
Mi madre, filóloga, editora,
catalogadora, era además una estupenda cantante y pianista que me transmitió el
disfrute de la música desde pequeño, escuchándola e interpretándola. Desde
primer curso de Bachillerato, en el instituto comencé a estudiar guitarra,
afición que he cultivado de forma irregular desde entonces, pero que nunca he
abandonado.
Pensemos en las ondas confinadas en un medio material
limitado, yendo y viniendo al reflejarse en los extremos o paredes. Para la
inmensa mayoría de frecuencias, la interferencia es destructiva (la suma de las
muchas reflexiones es cero o casi nula) y únicamente algunas frecuencias
resultan en interferencias constructivas, en oscilaciones de gran amplitud. Ésas
son las frecuencias propias de dicho sistema, sus frecuencias de resonancia. A
grandes rasgos, se puede decir que estas frecuencias corresponden a las
longitudes de onda que encajan exactamente
entre los límites del espacio de confinamiento. Cuando se fuerza al sistema a oscilar
con una de esas frecuencias, todas las
partículas oscilan al unísono con dicha frecuencia y cada una lo hará con
una amplitud constante en el tiempo (si despreciamos la disipación de energía),
aunque unas oscilarán de forma más acusada, con más amplitud, que otras. En una
cuerda tensada de longitud L = 1 metro y con los dos extremos fijos (como la de
un piano, por ejemplo), las longitudes de onda que encajan exactamente son únicamente λ1 = 2L/1 = 2 metros,
λ2 = 2L/2 = 1 m, λ3 = 2L/3 = 2/3 m, λ4 = 2L/4
= 0,5 m, y así sucesivamente. Si se tensa la cuerda de manera que la velocidad
de propagación de las ondas en ella es 200 m/s, esas longitudes de onda
corresponden a las siguientes frecuencias f1
=200/2 = 100 veces por segundo o Hz, f2
= 200/1 = 200 Hz, f3 = 200/(2/3)
= 300 Hz, f4 = 200/0,5 =
400 Hz y así sucesivamente. Como podemos ver, las frecuencias son todas
múltiplos enteros de la más baja, la llamada fundamental (f1 =100 Hz en este ejemplo). Estos son los armónicos de
la cuerda y resulta que cualquier onda que generemos en ella tendrá que ser la
suma de estos armónicos (esta es la base de la representación de cualquier onda
periódica como su serie de Fourier).
Pitágoras construyó hace unos
2500 años su filosofía del Cosmos - él fue el primero en usar esta palabra para
referirse al Universo, pero desde los años 80 a muchos nos viene a la mente
Carl Sagan al leerla o escucharla - sobre el análisis de las notas musicales
emitidas por pares de cuerdas de diferentes longitudes. Feynman indica en sus
Lectures que con esa conclusión de sus experimentos, Pitágoras estableció el
primer ejemplo, aparte de la geometría, de una relación numérica en la
Naturaleza. Su influencia fue tan profunda que hasta unos 2000 años después el
llamado quadrivium, estudiado
en los centros de educación superior, incluía el estudio de la música junto a
la geometría, la aritmética y la astronomía.
Hay programas que permiten obtener la transformada
de Fourier de cualquier señal que llegue a un ordenador, pasando de representar
la señal en función del tiempo a representarla en función de la frecuencia. Si
se introduce la señal de una cuerda oscilante, se verá que aparecen picos que
cumplen exactamente lo dicho acerca de los armónicos: una frecuencia
fundamental y sus múltiplos enteros. Además, ésas son sus frecuencias de resonancia: si intentamos forzarla a oscilar con
otra frecuencia diferente a las de sus armónicos, simplemente la cuerda no
oscilará o lo hará muy poco. Pero cuando la forcemos a oscilar con una de las
frecuencias de resonancia, puede llegar a vibrar fuertemente, creando un sonido
perfectamente audible.
Cuando era profesor novel impartí
clases en el Laboratorio de Mecánica y Ondas de la Facultad de Ciencias Físicas
de la UCM, que en ese momento coordinaba el excelente profesor Enrique Maciá
(in memoriam). Con su ayuda desarrollé una variante del experimento de cuerda
vibrante que ya existía, al incluir la obtención de los armónicos superiores
mediante una técnica usada por los guitarristas: rozando ciertos puntos muy
concretos de la cuerda para imponer que no se muevan (creando los nodos
adecuados de los armónicos). Como siempre, para desarrollar la variación del
guion de la práctica que hicimos entre el Prof. Maciá y yo, acudí a las
Lectures de Feynman, donde explica en su excepcional estilo el concepto de
armónicos y series de Fourier y mostrando con gráficas cómo obtener la forma de
una onda viajera confinada, con forma arbitraria, como superposición de ondas
estacionarias. Pocos cursos después, introdujimos en esa práctica la obtención
en vivo de la transformada de Fourier a partir de la señal obtenida
experimentalmente por los propios estudiantes.
Cuando consideramos una membrana tensa de dos
dimensiones fijada a un aro - o un medio como el aire encerrado en las tres
dimensiones - los cálculos son bastante más complicados, pero el resultado es
esencialmente idéntico: aparecen una serie de frecuencias bien definidas para las
que el sistema entra en resonancia. Son sus frecuencias propias. Si se le hace
oscilar con una de ellas, todas las partículas vibrarán al unísono y con
amplitudes constantes en el tiempo. Eso sí, en estos casos ya no se cumplirá la
sencilla relación matemática entre ellas de multiplicar la frecuencia
fundamental por números enteros, como los armónicos en la cuerda. Aquí
dejaremos de llamarlos armónicos – caracterizados por esas relaciones de
números enteros – pero podemos llamarlos estados estacionarios que, en esencia,
físicamente hablando, se comportan de la misma forma.
Lo maravilloso de esta idea es que no se limita
únicamente a las ondas mecánicas. La idea de armónicos y estados
estacionarios se extiende a cualquier otro fenómeno ondulatorio, incluso los
que no necesitan partículas, un medio material, para propagarse. Por ejemplo,
las ondas electromagnéticas o las funciones de onda de la mecánica cuántica.
Desde las cavidades ópticas resonantes utilizadas en la mayoría de los láseres
hasta los orbitales atómicos en mecánica cuántica, desde las resonancias de
Schumann en física de la atmósfera hasta los modos cuasi-normales en estrellas
y agujeros negros.
A lo largo de los años me he divertido pensando y/o
descubriendo en libros o artículos analogías de conceptos físicos con la
música, básicamente por dar lugar a fenómenos con ritmo, por analizar sistemas que
pueden describirse a partir de esos estados especiales con frecuencias propias.
El repertorio incluye una gran cantidad de temas: las soluciones estacionarias
de la ecuación de Schrödinger en mecánica cuántica, como los ya mencionados
orbitales de electrones en átomos, pero también en nanoestructuras (premio
Nobel en 2023), pasando por los fonones o los estados electrónicos y su
distribución en forma de bandas de energía en la física del estado sólido;
la punta de un microscopio de fuerza atómica (AFM) en modo de fuerza dinámica,
que se comporta de manera análoga al alero de la Fernsehturm, con sus
frecuencias propias; las oscilaciones bariónicas acústicas, que se
propagaban durante los primeros cientos de miles de años del universo y han
dejado su impronta en la distribución de galaxias y en la radiación cósmica de
fondo; las cavidades ópticas desarrolladas en fotónica, etc.
Fig. 2 Berliner Fernsehturm y sus “aleros resonantes“. Wikimedia Commons https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Berlin_-_Berliner_Fernsehturm5.jpg
Con todo lo explicado, espero haber dejado claro que
considero que conectar ideas de diferentes campos o áreas de conocimiento,
creando analogías y metáforas, es muy importante para desarrollar la ciencia,
permitiendo comprender fenómenos con mayor facilidad y/o extender las
conclusiones a nuevos campos. Para ello, hace falta haber trabajado lo suficiente
como para tener buena técnica y haber adquirido una buena base de conocimientos,
estableciendo relaciones entre ellos mediante la reflexión y la creatividad. Y
es necesario que la imaginación tenga
un papel protagonista en todo ese proceso. Cuanto más nos acostumbremos y más
disfrutemos usándola, mejor ciencia podremos hacer, ya que La máxima dificultad para la imaginación, no es,
como en la ficción, imaginar cosas que no existen, sino simplemente comprender
las cosas que sí existen. Richard Feynman dixit.
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