"If I have seen
further, it is by standing upon the shoulders of giants"1
Isaac Newton, correspondencia con Robert Hooke.
La lección
aún no ha comenzado.
Mi primer encuentro con las Lecciones de
Física de Feynman [1], y con su autor, fue en primero de carrera en la
Universidad Complutense de Madrid. He de reconocer que, aunque vocacional, no
andaba muy puesto en obras de divulgación. Mis lecturas entonces era George
Gamow, gracias a sus oníricas aventuras con Mr Tompkins [2], la Física
Recreativa de Yakov Perelman [3] y El significado de la relatividad,
de Albert Einstein [4]. Mis compañeros estaban más puestos en el tema, aunque
los libros que triunfaban no eran las Lectures (no es que sea pedante,
pero me parece extraño traducirlo como Lecciones, cuando en realidad son Conferencias),
sino recopilaciones, como Está usted de broma, Mr Feynman [5]. De hecho,
aunque las Lectures figuraban entre la bibliografía recomendada por
nuestros profesores, nadie se planteaba usarlas como libro de texto.
Y tenían razón, porque disfruté más de las Lectures
cuando me hice mayor y pude fingir que sabía algo de física. Había docentes que
sugerían una asignatura de Física General al finalizar la carrera, precisamente
para volver la vista atrás sobre esos conocimientos básicos con una perspectiva
madura.
No fue mi caso, ya que no volví a tocar las Lectures
en años. Al releerlas, me percaté de cuánto de ellas se me transmitió por vía
interpuesta a través de otros profesores.
Por proximidad con mi propia investigación [6], he
escogido la séptima conferencia, la dedicada a la Teoría de la Gravitación. Es
breve, lo que me facilita el trabajo, pero admito que hay que digerirla con
tranquilidad, ya que no hay una palabra fuera de sitio. Aparte, Richard Feynman
tuvo por director a John Archibald Wheeler en 1942 en Princeton. John falleció
en 2008 a la edad de noventaiséis años, sobreviviendo a su alumno en veinte, y
dejándonos en la memoria a los relativistas, la biblia negra, el Gravitation
[7], un ameno compendio de la teoría de la gravitación de más de mil doscientas
páginas, por el que pagué sesenta euros al cambio allá por 1990. Recuerdo que,
a modo de novatada, mis compañeros lo llevaron a un aula de primero, indicando a
los alumnos que era lo que había que estudiar para las primeras semanas
de clase.
No creo que me hayan invitado a esta obra para
reproducir lo que Feynman ya narró con mayor conocimiento y acierto. Me ceñiré
a los párrafos y palabras que más me llamaron la atención en una lectura
reciente, eludiendo los aspectos más técnicos. Por ejemplo, deducir la ley de
gravitación de Newton a partir de las leyes planetarias de Kepler es un
ejercicio amable en la actualidad, aunque fuera todo un reto en tiempos de Newton.
¡Que se lo digan a Hooke!
A
hombros de gigantes.
He eludido ex profeso la palabra universal,
que siempre añadimos a la ley de gravitación como si fuera un pleonasmo, un
calificativo que se podría pasar por alto, cuando lo cierto es que no es así.
Si nos ceñimos a los argumentos, la ley de
gravitación debería aplicarse solo al movimiento de los planetas, ya que se
basa en observaciones únicamente de nuestro sistema solar. El rango de universal
que le aporta Newton es precisamente lo que hace grande esta ley.
Los detractores de Newton, los que le acusan de
sanguinario por su implacable actuación como director de la casa de la moneda
londinense, se relamerían si supieran que posiblemente el primero en enunciar
la ley de gravitación (aún no universal) fue Robert Hooke, la némesis de Isaac
Newton. Porque en una carta de 1679 a Isaac Newton, Hooke ya explicaba el
movimiento planetario con trayectorias elípticas debidas a una atracción
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los astros2.
Paternidad esta que muchos años después Hooke trató de reclamar, amparándose en
su correspondencia con Newton [8]. En dicha correspondencia Newton suelta algún
que otro gazapo.
Que la ley de gravitación fuera realmente universal
y que se pudiera aplicar en contextos diferentes del movimiento planetario es
un salto al vacío que no era trivial en el siglo XVII. Esto se refleja en la
anécdota, posiblemente apócrifa, de Isaac Newton contemplando la caída
de una manzana como detonante de la idea de la teoría de la gravitación. Que la
ley de gravitación se aplicara al movimiento planetario y a la caída de
una manzana es un salto intelectual que sólo a un genio se le podría pasar por
la cabeza. Luego explicaré por qué enfatizo la palabra caída. Todo a su tiempo.
Pensemos que antes de Galileo [9] nadie pensaba que
los cuerpos cayeran con la misma aceleración, independientemente de su masa
(principio de equivalencia débil o igualdad de la masa inercial y
gravitacional). Y que incluso los filósofos aristotélicos argumentaban que el
tiempo de caída era inversamente proporcional a su peso. Es decir, nada que
permitiera ligar la caída de una manzana con el movimiento de los planetas.
Que la historia de la manzana posiblemente esté
sobrevalorada (aunque reflejada sutilmente con una flor de manzano en los
antiguos billetes de una libra3, los dedicados a Isaac Newton) lo
muestra el hecho más prosaico, narrado por Feynman, de que Newton intentó
aplicar su ley al movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, pero
desistió de publicarlo, ya que encontró unas discrepancias demasiado grandes en
sus cálculos y los desechó. Sin embargo, seis años después, un nuevo cálculo
del tamaño de la Tierra mostró que la estimación de la distancia a la Luna era
errónea. Cuando Newton se enteró de esto, rehízo sus cálculos y comprobó una
buena concordancia con su teoría. Es decir, la manzana se demoró un tiempo
colgada del árbol.
Otro ejemplo de aplicación de la teoría es el
movimiento de las lunas galileanas en torno a Júpiter, descubrimiento que le
salió caro a Galileo. Ajustar este cálculo trajo como consecuencia inesperada
una de las primeras estimaciones de la velocidad de la luz (finita, que no
infinita) por el astrónomo danés Ole Rømer [10], por los retrasos en los
eclipses de la luna Io.
Sin mencionar al desventurado Hooke, Feynman hace
mucho hincapié en su conferencia, en la importancia del concepto de
universalidad, con los mencionados ejemplos. Y otros más, posteriores a Newton
[8], como el descubrimiento del planeta Neptuno, la formación de las estrellas
o el movimiento de estrellas en sistemas binarios.
Ni
cómo, pero sí por qué.
Feynman lanza a continuación la pregunta de qué es
la gravedad. Para responder que, trescientos años después, no lo sabemos aún.
De una manera muy gráfica, mi profesor de física de COU en el San Fernando de
Madrid (2º de bachillerato actual), Paco Ortega, lo comentaba diciendo que el
perejil ya estaba inventado, que sólo lo describíamos. Una pregunta que
seguramente no motiva a nuestros estudiantes, como no me motivaba a mí con
diecisiete años, para los cuales la gravedad es la ley universal o las
ecuaciones de Einstein, pero sin invocar nada más profundo.
En cambio, en el siglo XVII y antes, la idea de
enunciar una ley de la gravitación sin explicar el origen de dicha fuerza,
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre dos objetos, era
poco menos que blasfema, por las conexiones con la filosofía natural. Descartes
tenía su propia teoría [7], fallida, que explicaba la gravitación [8] en
términos de pequeños remolinos que transmitían la fuerza de un objeto a otro,
rodeados de un fluido desconocido llamado éter4. La acción a
distancia, tal como la conocemos actualmente, no tenía adeptos en el XVII,
menos aún si, aun más aberrante, esa acción tenía lugar en el vacío. El
concepto de campo de fuerzas es posterior.
Newton no hace el mínimo intento de algo parecido.
Diría que es una ley laica, fiel a la tradición de la filosofía
empirista de las islas. Describe el funcionamiento de la gravedad, pero no elabora
hipótesis acerca de su origen, como habían hecho todos los filósofos en
el pasado. Recordemos que para Aristóteles los cuerpos caen por su propia naturaleza.
Está en la naturaleza del fuego ascender por encima del aire, como lo
está en las de los cuerpos graves descender. Es precisamente esa naturaleza
de lo que Newton prescinde. Y menos mal que lo hizo, porque por esa vía no
hubo, ni ha habido, avances hasta la fecha.
Hasta 1735 ambas teorías compitieron por describir
la gravitación, con la peculiaridad de que la teoría de Descartes predecía que
la Tierra sería un elipsoide alargado (tipo pepino), mientras que la de Newton
sostenía que sería un elipsoide achatado (como una calabaza). En dicho año, la
Academia de París organizó sendas expediciones para medir arcos de meridiano
(una al Ártico y otra al Ecuador) y zanjar la disputa. En la expedición al
Ecuador (más exactamente al Perú), participó el ingeniero y científico español
Jorge Juan y Santacilia [8]. Creo que no es necesario decir cuál fue la teoría
confirmada.
Volviendo a la idea de explicar la gravitación, un
intento relevante fue el Principio de Mach. En 1893 Ernest Mach (conocido por
prestar su nombre a la velocidad del sonido) propuso un mecanismo
intelectualmente atractivo para explicar la inercia, íntimamente ligada a la
gravitación por el principio de equivalencia. Mach eliminaba el espacio
absoluto newtoniano, respecto al cual medimos y experimentamos la aceleración,
vinculándolo al centro de masas del universo. Es decir, la inercia surge de la
interacción de los objetos con el universo, en particular con las estrellas
lejanas. A Einstein este principio le resultaba atractivo e intentó
incorporarlo a su teoría. Sin embargo, la teoría de la relatividad no es
machiana y es difícil encajarla en las teorías físicas del siglo XX. Aparte de
que ningún experimento dedicado a contrastar el principio de equivalencia con
la caída de todo tipo de cuerpos haya encontrado hasta la fecha discrepancia
alguna.
Ahora
caigo...
Finalmente, me gustaría dedicar unas líneas a la
provocadora idea de caída, tan presente en la conferencia de Feynman.
Siendo sincero, la escuché de primera mano en 1990 en el curso de Gravitación y
Cosmología de Alberto Galindo Tixaire en la Universidad Complutense de Madrid,
antes de releerlo en las Lecciones. De primeras suena bastante chocante.
Sobre todo, si tenemos en cuenta que el origen de la ley de gravitación está en
el movimiento planetario, que en principio no tiene nada que ver con la caída
de los cuerpos, sean manzanas o no.
Feynman argumenta muy bien que, aunque no lo
parezca, la Luna está cayendo, no sólo orbitando. Y no se refiere, como
podría pensarse, a que esté cayendo hacia la Tierra por la fricción de las
mareas. De hecho, por ese motivo la Luna se aleja a razón de 3.8 cm al
año de la Tierra [11]. Pero, que no cunda el pánico, antes desaparecerá el
sistema solar que la Luna comience a vagar libre por la galaxia como en la
icónica serie de ficción científica Espacio 19995.
Y lo mismo rige para los planetas. Están cayendo
alrededor del Sol. Podemos argumentar que no tenemos la impresión de que la
Tierra esté cayendo hacia el Sol y, sin embargo, lo está haciendo. Es
una manera provocadora de asumir la universalidad de la ley de gravitación. Si
las manzanas caen, los planetas, también.
¿Por qué entonces parece que manzanas y planetas se
comportan de manera distinta? Feynman lo justifica a la perfección con
argumentos geométricos [1]. Imaginemos a Newton arrojando malhumorado la
manzana que le acaba de caer. La arroja horizontalmente y, como sabemos, esta
manzana describirá una trayectoria parabólica antes de caer de nuevo sobre la
superficie de la Tierra. Porque, aunque la manzana se aleje horizontalmente con
la velocidad con la que la hemos lanzado, en vertical va a caer con una
aceleración de 9.8 m/s2 hacia la Tierra.
Pensemos ahora que Newton lanzase la manzana cada
vez con más fuerza (velocidad o impulso realmente). La experiencia dice
que la manzana iría cayendo más y más lejos, porque, a medida que la manzana
avanza horizontalmente, el suelo se va alejando de la manzana, ya que la
superficie de la Tierra se va curvando hacia abajo. Hasta el punto de que, si
lanzamos la manzana con suficiente impulso, no volvería a golpear el suelo,
sino que describiría una trayectoria aproximadamente circular en torno a la
Tierra. Lo que comúnmente se conoce como poner en órbita (más
concretamente, órbita roja en la figura 1, con la Tierra en azul. La hemos
trazado a una altura pequeña sobre la superficie de la Tierra).
No veo a Newton de bowler en un partido de
cricket lanzando manzanas. Da igual, ya que la marca de velocidad está en torno
a 150 km/h, muy alejada de la velocidad inicial requerida, 8 km/s. No voy a
repetir el cálculo de Feynman, muy geométrico y elegante. Podéis echarle un
vistazo en las Lecciones para constatar que dicha velocidad es
simplemente (Rg)1/2, donde
R es el radio de la Tierra y g es la aceleración de la gravedad
en su superficie.
Yendo un poco más lejos, el argumento de la caída
está en la base de la teoría de la gravitación de Einstein. El principio de
equivalencia de Einstein pone en pie de igualdad la fuerza gravitatoria con la
aceleración [8]. Sentimos la fuerza gravitatoria que nos ancla a la superficie
de la Tierra. Pero, si nos dejamos caer, dejamos de sentir la fuerza de la
gravedad y lo que experimentamos es la aceleración de la caída.
Esto es aún más elegante si pensamos en cómo se
describe la caída en la teoría general de la gravedad. En ausencia de
fuerzas, las leyes newtonianas prescriben que nos movemos a lo largo de
trayectorias rectas con velocidad constante. Las rectas del espacio ordinario
(euclídeo) son las que minimizan la distancia entre dos puntos. Esto cambia si
cambiamos nuestro espacio plano por la superficie de la Tierra. Si no nos
permiten horadar un túnel por el subsuelo, la distancia más corta entre dos
puntos sobre la superficie de la Tierra se traza a lo largo de un círculo máximo,
como el Ecuador o los meridianos. Esto es lo que motiva las sorprendentes
trayectorias de los aviones, que suben hasta el Ártico para alcanzar,
por ejemplo, California, en lugar de seguir un paralelo. Estos círculos máximos
son las geodésicas de la esfera, las trayectorias que hacen más corta la
distancia entre dos puntos sobre la superficie.
En la teoría general de la relatividad, los objetos
pequeños, sometidos tan solo a la acción de la gravedad, trazan trayectorias
que son precisamente geodésicas del espaciotiempo en el que se mueven. En el
caso de objetos cayendo en torno a la Tierra, dicho espaciotiempo es el
conocido como Schwarzschild (empleado para describir un agujero negro no
rotante), por lo que las trayectorias parabólicas y elípticas en torno a la
Tierra son geodésicas de dicho espaciotiempo, salvo correcciones debidas a
efectos relativistas.
Cerrando el ciclo, al final caer no es
separarse del camino recto, sino que es seguir un camino recto diferente,
trazado por la geometría del espaciotiempo.
Menos
cuentos y más cuentas...
Para terminar, me atreveré a emular a Feynman y os
propongo una cuenta. Feynman calcula de manera elegante y geométrica la
velocidad de una órbita circular en torno a la Tierra. Me dejaré algún pelo en
la gatera, pero no me quiero ir sin copiarle la idea para calcular la velocidad
de escape, que en la superficie de la Tierra se estima en 11 km/s (spoiler).
Dejemos a Newton arrojando manzanas alrededor de la
Tierra. De haber tenido un cañón potente, aumentando la velocidad inicial,
podría pasar de la órbita circular, la menos energética, a órbitas elípticas
cada vez más excéntricas, siempre con el centro de la Tierra en un foco.
Supongamos que tuviera capacidad para aumentar la velocidad hasta el punto de
que la manzana no regresara jamás. Esto sucede cuando la órbita pasa de ser
elíptica (cerrada, en verde en la figura) a parabólica (abierta, en azul).
Fig. 1 Órbitas en torno a la Tierra (azul).
Pensemos geométricamente. Esa parábola ha de tener
el foco en el centro F de la Tierra (ley de Kepler). Y las parábolas están
formadas por puntos que están a igual distancia del foco y de una recta llamada
directriz. Como el foco está en (0,-R) y a Newton lo hemos colocado en el
origen (0,0), la recta directriz tiene ecuación y = R, la parábola viene
descrita (ejercicio) por la ecuación y
= -x2 / 4R.
Newton lanza la manzana con una velocidad horizontal v. Tras un tiempo corto t, la manzana recorre horizontalmente una distancia x = vt y verticalmente una altura y = -gt2 / 2. Sustituimos en la ecuación de la parábola y obtenemos que dicha velocidad de escape es (2Rg)1/2, expresión que nos da los 11 km/s anunciados, sin más que sustituir el radio de la Tierra y la aceleración en su superficie.
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